中國數學史話

作者：不詳

來源於：數學之家(凌世春個人主頁）

發佈時間：2005-6-26 21:24:13

河南舞陽賈湖遺址,距今9000-7800年,其豐富的文化遺產揭示了多年前先民的文化水平.賈湖人的體質與現代人一樣,是真正的中國人.也就是說,從九千年前到現在,生活在中原的一直是中國人,是中國人自己創造了中國文明.賈湖遺址出土了成組龜甲和內裝石子,骨笛和權形骨器共存.以八,六,四,二為主要組合的成組龜甲和內裝石子,表明當時已實行龜卜,這顯然與伏羲始畫八卦的傳說相應.分屬早,中,晚期的二十多支骨笛,有五孔,六孔,七孔和八孔幾種,專家研究發現當時已有了四聲,五聲,六聲,七聲音階,推翻了先秦只有五聲音階的定論.骨笛製作者在開音孔之前,先在笛身上的一段內,畫成若干連接的相等長度的小段,做了記號,而後再開孔.這說明,賈湖人已經在運用數學方法製作樂器了,他們用數學方法探索多孔笛發音規律,進行管樂器的音律計算.

甘肅秦安大地灣村的大型宮殿F901,包括前坪在內的總面積達420平方米左右,有牆與屋頂的部分為２９０平米,其中前堂面積有１３０多平米.地面抹有類似水泥的沙漿,相當於100號水泥.前堂,後室,東西廂房的格局與清代皇宮前庭,前朝,後寢,左祖,右社的格局相似.如此大規模的工藝先進的建築在5000年前已是世界罕見了.其規劃及建造離不開數學.

距今5000年時,我國的天文歷算已有相當大的發展,干支已經產生,已在使用六十個干支了.干支沒有中斷,對於８０００多年薪火相傳的中國文明而言是不成問題的.以中國上古天文學的實際水平而言,干支不中斷是十分容易的,有文字,有政權,就有歷史記錄,<<史記.三代世表>>:"黃帝以來皆有年數",並不虛妄.

<<尚書.堯典>>:"期三百有六旬有六日,以閏月定四時,戍歲."一年３６６天,這是太陽年,加閏月指的是農曆.４０００年前我國已經在使用陰陽合歷,調節農曆月份與節氣的關係靠加閏月,後來的天文曆法實踐可能反不如前代."天下有道,則不失紀序;無道,則正朔不行於諸侯."(<<史記.歷書>>)仲康元年日食,由於羲和失職沒有預先報告,致使社會秩序混亂.同樣,商周時代因為置閏不准,有時失閏,不得不加第二個閏月---十四月.<<逸周書.周月>>:"夏數得天,百王所同."承認夏歷的先進性只是由於改朝換代必須改變曆法正朔,才改用周正.但"敬授民時巡狩祭享,猶自夏焉."德國人湯若望在中國朝廷準確計算日食,而當時中國官員算不對,並不代表以前中國的天文歷算比明清差.事在人為.

甲骨文,金文已出現數字和計數法.周代中國人已在使用和今天相同的十進制計數法,"零"用空位表示---說明當時中國人已認識到零的存在,算籌有一個專門的字"籌","常弄乃不誤也",說出了數學的特點.<<老子>>卻說"善數不用籌策."看來,口算是早已有之.卜用龜,筮用策(籌),<<史記>>有<<龜策列傳>>.

學者對中國古代用的數位名稱已缺少瞭解.萬以上有:億,兆,京,垓,秭,壤,溝,澗,正,載.數有三等,即三種進率,下數進率為十,即億為十萬,兆為百萬......現在物理用兆表示百萬就源於此;中數進率為一萬,即億為萬萬,兆為萬億......;此外上數的說法不可信, 億億為兆,垓垓為秭,沒有進率,相鄰兩個數位,成平方關係.事實上,兆以後的數位幾乎沒有用,所以就失去使用價值了.<<國語.鄭語>>:"合十數以訓百體,出千品,具萬方,計億事,材兆物,收經入,行駭極."一般取十進制來解釋其中的數字,<<山海經.海外東經>>:"帝命豎亥步自東至於西極,五億十選(萬)九千八百步.豎亥右手把算,左手指青丘北."這裡千與億之間有"十萬",顯然億不是十萬,而是萬萬.

先秦著作中,涉及到不少數學問題.<<易.系辭上>>:"天一,地二;天三,地四;天五,地六;天七,地八;天九,地十.....凡天地之數五十有五......大衍之數五十[有五]......乾之策二百一十有六,坤之策百四十有四,凡三百六十,當期之日......"這裡有自然數前１０項及其和,有奇數(陽數)與偶數(陰數).<<河圖>>就是１-１０排列而成,呈太極形,以黑為陰,以白為陽,並不神秘.以考古發現推斷,伏羲時代有這些知識並不奇怪,<<河圖>>,<<洛書>>是人為的,不可能是天賜的,萊布尼茨把二進制歸功於伏羲氏,說明他對中國文化仰慕至極,不論怎麼說,６４卦是排列組合的實踐,有重要的地位.數學大師慧眼識之,有什麼出人意料呢?

墨子是一位科學家.他說過:"圜,一中同長也.""百工為方以矩,為賀以規."圜就是圓. "一中同長"體現了集合的思想.

我國最早的天文歷算著作<<周髀算經>>,運用了分數的乘除,勾股定理,開平方等方法.趙君卿注說:"句股各自乘,並之為實弦,開方除之,即弦."<<九章算術>>成書於一世紀,彙集了先秦以來的數學知識.書中涉及負數,最小公倍數,聯立一次方程並用加減法消元等世界領先的數學成就.

<<史記>>討論歷算,樂律時,使用了分數和大數目,從中可以看出當時數學已用於理論指導下的精密推算,考古發現還證實,這方面的發展保存在竹簡,帛書,金文中.可以說,中國數學是為實踐服務的,從古代數學著作的題目就可以看出來.

我國早就注意到圓周率的求值問題."週三徑一"即圓周率取３.張衡<<西京賦>>:"於是量徑輪,考廣袤."三國時劉徽創割圓術,求得圓周率取３.１４１６.祖這的成就不只是領先,而且是精確的.他的科學精神更是永不會過時的.

宋代楊輝１２６１年著<<詳解九章算法>>,列出了二項式係數表.他在注中說賈憲也用過這個表.

籌算之後珠算成為更便捷的計算工具,唐末已有算盤.宋代有了珠算口訣的記載.國外有人稱算盤是中國的第五大發明.由於中國的計算方法,記數法和計算工具比較先進,所以阿拉伯數字雖然一千多年前就傳到了中國,但沒有被接受.

宋代以後中國的科技進步不如西方,數學也是一樣,西方數學傳入中國,並被學者翻譯,著述,許多數學名詞引進到漢語中.徐光啟與利瑪竇譯<<幾何原本>>前６卷.清屈曾發著<<九數通考>>(本名<<數學精詳>>)介紹了西方數學方法.

科舉興起以前,一些大科學家,大文學家兼精天文歷算.中國社會重視儒學,數學知識能不斷積累,發展,得益於一代代為之獻身的學者的探索和努力.以上僅舉了數例,還很不完備,有待以後再說.

河圖洛書釋疑

《易.系辭上》：「是故天生神物，聖人則之；天地變化，聖人故之；天垂象見吉凶，聖人像之；河出《圖》，洛出《書》，聖人則之。」孔子相信河圖、洛易的存在，並以二者作為聖人作《易》的四條依據之一。

對河圖，洛書的圖形，文獻一直保存至今。河圖實際是1——10排列而成，5和10構成中宮，奇數為陽，白色，代表天數（生數）；偶數為陰，為黑，代表地數（成數）。洛書實際是九宮，即1——9排列而成，橫，豎，斜三個數相加和都是15。河圖、洛書形式不同，本質相同，都表示曆法和卜筮，四面八方，四時八節，八卦，九宮及五位統一的體系。十月太陽曆與《河圖》有相通之處，原因在於它們有同樣的源頭。

《尚書.顧命》：「大玉，夷玉，天球，河圖，在東序。」孔傳認為河圖即八卦。有文獻說伏羲時龍馬負圖出於河，也有堯，禹受圖的說法。《竹書紀年》軒轅「五十年秋七月庚申，鳳鳥至，帝祭於洛水」沈約註：「龍圖出河，龜書出洛......「風後受圖的說法流傳很廣。有人以為龍馬為東方七宿的龍與天馬四，與《山海經》中的「馬身而龍首」相符，當為上古龍馬圖騰的人在星空中找到的龍馬。從賈湖文化來看，8000多年前有卜卦是事實，產生河圖一類的圖文是可能的。後來相傳，成為「帝王受命之瑞」。

漢代認為洛書即《洪範》九疇。「天興禹洛出書，神龜負文而出，列於背，有數至於九，禹遂因而第之以成九類常道。」《漢書.五行志上》認為《尚書.洪範》中從「初一曰五行」到「長用六極」是《洛書》本文。《易緯.乾鑿度》所說太乙行九宮之法，成為後世術士所用的洛書。太乙即太一，所行九宮為：中央招搖，北宮葉蟄，東北天留，東宮倉門，東南陰洛。南宮上天，西南玄委，西宮倉果，西北新洛。太一移宮的日期為冬至，立春，春分，立夏，夏至，立秋，秋分，立冬八節。八節又與八風相應。八卦的八個方位加上中央就是九宮。八卦的方位與八節對應，從日運行方位和斗柄指向均可得到證明。以後天八卦為例，震為東，代表春分；巽為東南，代表立夏；離為南，代表夏至；坤為西南，代表立秋；兌為西，代表秋分；乾為西北，代表立冬；坎為北，代表冬至；艮為燕北，代表立春。後天八卦由周文王定，那以前的先天八卦則是：震東立春，離東春分，兌東南立夏，乾南夏至，巽西南立秋，坎西秋分，艮西北立冬，坤北冬至。周代以前八卦和美洲印第安人八卦都是得天獨厚天八卦。我國發現了很多「八角星」圖案。距禽大約6500年的崧澤文化多處遺址及江蘇坯縣大墩子大汶口文化遺址是比較早的。距今4000年的內蒙赤峰敖漢旗小河沿文化仍有類似圖案。安徽含山凌家灘出土的一隻玉鳥上，胸腹部刻有八角星圖案，而夾在玉龜腹甲與背甲之間的長方形玉片上的圖案，即為上古的洛書。玉片邊緣的賀孔數，為四、五、九、五。是表示太一自循行至四，還至中央五，自六循行到九，還至中央五。湖南安鄉湯家崗大溪文化的八角星圖案，與墨西哥阿斯特克太陽曆石有相似的格局。楚繒書的十二月相圖四方書的十二月相圖四方各一棵扶桑樹，與密斯特克（印第安人一支）壇台八卦扶桑圖的扶桑樹相似。密斯特克的扶桑圖作八卦九宮格局。可見，河圖洛書就是八卦九宮，四時四方五位與八節八方九宮只是把一年和方位進行四分與八分的區別，中宮之位無關緊要。

上古的河圖洛書正如考古所見，應只是圖形，沒有數字。二千年前傳下來的數字的河圖、洛書，雖然一個是10個數，一個是9個數，本質上卻相同。其論證參看葛志毅先生《明堂月令考論》一文的相關部分（《求是學刊》）2002年第5期）

河圖洛書的意義在於，第一證實了《易》關於卜筮與天地相應的思想早在六、七千年前就有了具體體現 。第二，承認中國南方和東南亞的八角八芒圖案和美洲太陽曆石為曆法，就應該承認6500年前的相似圖案也是曆法。第三，要用發展的眼光看歷史，早期八卦無文字形式，良渚文化已有用數字記錄的卦文，周原遺址則出土了用一、--表示卦象，但八卦在中華文化的溫長歷史中至少八千年連續傳承，並分佈到環太平洋地區是不容忽視的事實。講史、寫史不應忽視這些事實。

說數

數是最基本的文明要素之一。沒有文字的民族在生產生活中要計數，所以數的概念應在文明產生之前就已產生。日本的本多勝一在《極限的民族》中寫道，愛斯基摩人（現恢復了因紐特人之稱）數到六都需要相當大的決心。政府讓他們統計狩獵情況，他們難以做到，作者認為，狩獵民族都缺乏數的概念，按因紐特（Inuit)即漢代的挹婁，也就是先秦的肅慎，住在我國東北一帶時文化不至於如此落後，不然它與中原的交流不會達到那樣密切的程度，況且在《逸周書.王會解》中肅慎被排在東北夷第一位。單調的環境和簡單的生活能使文化退化。古代瑪雅人數學發達，數字達到十進制的億級以上，但今天的瑪雅人文化落後，叫人感歎！

數字與計算

拉丁文「計算」來自「石塊」，非洲「計算」詞根則是「鱷魚」，可以知道計算的用具。

中國上古缺乏文獻記載，數字的產生無從考證，8000多年前賈湖文化已有了數的概念。始於軒轅的六十甲子可以說是六十進制。馬家窯文化有把一個正方形等分為100個小正方形的圖案，江蘇海安良渚文化有「三五三三六四」和「六二三五三一」的卦文，即「遁」和「大壯」。《尚書.堯典》說一年有「三百有六旬有六日」，顯然是十進制，為了設置閏月，需要一定的計算。甲骨文數字為十進制。最大的數是三萬。周代以後，傳世文獻漸漸多起來。天文、曆法、樂律、人口統計、工程都涉及很大的數字，如樂律大數，黃鐘177147，大呂165888，太簇157464.....而古希臘人計算不超過一萬，如果大於一萬，就稱為「無窮大」了。

算籌表示數與現在阿拉伯數字表示法完全一致。

立算籌表示個位、百位、萬位、百萬位......臥算籌表示十位、千位、十萬位、千萬位......零用空位表示。這在公元前幾個世紀裡，是世界最先進的計數法和表示法。

算籌的顏色，紅為正數，黑為負數，但後來把紅作為負數，今天說「赤字」，與之相同。算籌記數法明代被綜合為一個系統——蘇州碼子。70年代末第二次簡化漢字，後來又停止推廣，其中表示「算」的「算」是一個古字，取自算籌的形名勝，筭是算的同音字，意為算籌。

籌算與阿拉伯數字計數、計算相比，不太方便，但在阿拉伯數字產生之前籌算是世界最先進的計算體系。古人如何用籌算計算分數、乘方、開方？不得而知。籌算直到明代才退出歷史舞台。而日常生活中，「統籌」、「籌劃」仍留下了籌算的痕跡。珠算除法九歸口訣。

算盤運算快捷、準確，一般認為出現在宋代，有的說是唐代。實際上漢代文獻明確記載了算盤和珠算。公元前600年已有算板，十個珠為一串，一組組排列，與後代的算盤原理相同。很難想像，劉徽、祖沖之等大數家不借助種便捷的運算方式計算圓周率該有多麼艱辛，是否用了也不知道。

中國人在公元前雖然沒有表示0的專門符號，但空位本身已說明中國人對零的認識。《舊唐書》、《宋史》用「空」字表示天文數據中的空位。現在朝鮮語在讀電台頻率、電報代碼時仍把「零」讀成「空」，如6010讀作「六千空一空」。南宋《律呂新書》把118098記作「十一萬八千囗九十八」，後來人們為了省事，把囗寫成了0，這是13世紀的事。

古代埃及、印度用十進制，瑪雅人用20進制，兩河流域用10進制和60進制，瑪雅人的數字有1—19和0共20年。0是貝殼形，這種貝殼正是中國和印第安人用作貨幣的海貝。表示數，由下而上，最下邊表示「個」，往上是「20」，再往上是「400」、「8000」、「160000」......

1—9的表示法與算籌表示法相同，只不過立算籌變成了圓點。這一點值得繼續研究。瑪雅數詞還有用頭形表示的體系。瑪雅碑銘最早是公元328年。

兩河流域的六十進制用1—59記數，方法與20進制相仿，但沒有0。六十進制用於時間和圓周的計算，沿用到現在。蘇美爾人的圖畫文字出現於公元前3500年，正式記載歷史始於公元前2300年。泥板文書上說，10位原始國王統治456000年，大洪水後23位國王統治24510年3個月3天半，難以置信。

羅馬數字：

I 1

V 5

X 10

L 50

C 100

D 500

M 1000

相同數字並列表示相加。不同數字並列，左小右大表示相加，左大右小表示相減。數字上邊一橫，表示一千倍，1M（M表示兩個1上面加一橫）表示2x1000-1=1999。

夏威夷語、馬克薩斯語仍保留四進制。美拉尼西亞語族，如斐濟語，還在使用五進制古代秘魯結繩記事，單結表示10，雙結表示20。繩顏色、粗細、長短與結的多少、大小均表示不同的意義。

語言與數

有詞形變化的語言往往有數的範疇。英語有單數和複數。阿拉伯語多一個「雙數」，如一個國王是malikun,兩個國王是malikäni,多個國王是maliküna。我國的羌語、景頗語、土家語、拉祜語、載瓦語、阿昌語、格曼語、獨龍語、布努語、佤語、德昂語、布朗語等也有「雙數」。有人說漢語的「雙」也是雙數的標記。日語、朝鮮語有詞形變化，但數的形式不是必須的，不加表示複數的詞尾，也一樣表示複數。

英語名詞有可數與不可數之分，其界限不很分明，所以學習時須逐個記。漢語中，傢俱、行李、紙被認為可數，英語是不可數名詞。物質名詞、抽像名詞也能轉化為可數名詞。有不定冠詞的語言都少不了這些麻煩。

英語第二人稱單數（你）和複數（你們）都是you,沒有專門的「您」形式。法語「您」是tu,「你們」是vous,「您們」是vous,德語「你」是du,「你們」是ihr,「您」是Sie,S永遠是大寫。小寫sie,表示陰性第三人稱單數（與漢語「她」不對應）和「他們」、「它們」。俄語「你」是Tbl，「你們」與「您」同是 Bbl。但這些語言中，「您」在熟人間是不宜的，與漢語「您」的範圍不一樣。日語、朝鮮語人稱代詞更複雜。漢語人稱代詞單、複數正像漢語數詞那樣簡明，複數加「們」就行了，人稱代詞加「的」相當於英語的物主代詞，這樣的構詞法是非常科學的。

法語數詞70-99保存了20進制的痕跡。70說成60和10，80說成4個20，91（quatre-vingt-onze）即「4個20加上11」。據一位翻譯講用法語表達數目時確實很難。

日語、朝鮮語自古借用漢字和漢語詞彙，至今數詞有兩套，一套固有詞，一套漢字詞。如「一」，日語固有詞讀hitotsu，漢字詞讀ichi；朝鮮語固有詞讀hana,漢字詞讀il。表示較大數目時都只用漢字數詞。越南古代也用漢字，借用漢語詞彙，但越語數詞仍用固有詞。

漢語數字4位一級，有萬、億、兆等進率為一萬的數詞。歐洲語言一般是三位一級，有千、百萬、十億等進率為一千的數詞。中國自古就對「兆」有「百萬」和「萬萬」兩種解釋。現在日，朝仍以「兆」為「萬億」，漢語中以當「百萬」講居多。歐美也一樣，biltion在英、德表示萬億,在美、法表示十億，trillion在英、德表示10的18次方，在美法表示10的12次方。遇到有歧義的情形，寫成具體的阿拉伯數字就解決了。

漢語數字探源

漢語的數字是怎麼來的？古今中外的學者提出出了種種推測。

算籌形。一、二、三、四、五、六、七、八、九、十都可以說是取自算籌。前五個尤為明顯。「十」只用一堅，與「一」的區別是算籌立與臥的區別，但與前述早期表示法相反，「一」橫書，「十 」縱書。「八」、「九」為曲線，不是算籌。

手與手指。一至十均為可講得通，詳見唐漢《漢字密碼》。

生肖動物的象形。五至九，分別是猢（猴）、牛、雞、馬、狗的象形字。五表示長臂猿在樹枝之間，上攀一枝，下踩一枝，不見頭。六表示牛軛，帶兩條 拽繩。七表示雞的爪印。八是馬面省去兩眼，只剩鼻樑，九是一隻蹲著的狗。詳見楊西海亮《史前基本婚制和中國十二屬相史初探》。

測日影的實踐。五至九均為立桿測影的形象。五表示「陰陽在天地間交午」，即八角星圖案的簡化。六表示角，甲骨文象房屋形，表示「六合」。七表示截斷，陽半年與陰半年平分。八表示相背，晷影相背。九表示窮盡，夏至冬至之時。具體的依據載於《周髀算經》，是七八九六之爻與曆法實踐統一的證明。

「十」中部有一點或短橫是後起的。有人說「十」為穿有木針的紡輪形，因紡線時十指並用，用它表示十。而只寫作一豎的字形怎麼解釋？有人說像神棍，可通天地。

「百」是「白」加畫而成，借「白」的讀音，唐漢認為白取自大拇指的指甲之形與白的特點。先民手髒，指甲蓋白特別顯眼，以此為「白」。

「千」是人腿部有一橫線，本來表示「二十」，借為「千」字。

「萬」是蠍子的形象（繁體），因蠍子聚集，表示很多。

甲骨文表示幾十、幾千、幾萬用合文，即在十、千、萬字下部加畫。

我國各地發現的距今8000年以來的陶器刻劃符號，如果不是文字，也有可能是數字。半坡刻符有與甲骨文數字相似的符號，應為數字。系統研究這些符號，也許能找到漢字數詞的源頭。我贊同五至九為生肖動物象形的說法。阿拉伯語數字寫法與漢字古文的「八」、「九」很相似，阿語數字1、2、3逆時針轉90度也與漢字寫法相似，6則是漢字古文的右半部分，阿語數字前身——印度數字與漢語數字是否接觸過？

阿拉伯數字探源

古巴比倫最早用小的楔形表示一，用大的楔形表示十。古埃及象形文字有一、十、一百、一萬、十萬、一百萬的符號，「一百萬」是一個吃驚的人形。阿拉伯數碼正式名稱為「印度阿拉伯數碼」，因為這些數碼是從印度傳到阿拉伯的。

古代印度有兩種數字符號，一是公元前7——公元前8世紀的婆羅門字母，用不同的符號表示1——9、10、20——90、100共5個符號。後來，演變為瓜亞爾數碼和梵文天城體數碼。這時的數碼才是十進制計數法。773年，有一位印度天文學家把印度數字傳給了阿拉伯，阿拉伯人結合希臘數字改造印度數字，產生了阿拉伯數碼。印度數字沒有「零」，阿拉伯人用點表示「零」。阿拉伯數碼傳入歐洲，到16世紀才形成現在的阿拉伯數字，而阿拉伯語、波斯語等語言仍用古老的阿拉伯數字。早在9世紀，印度數字就與印度天文學一道傳入中國。由於籌算記數法與們置記數法完全一致，沒有必要採用。13世紀現代的阿拉伯數碼傳入中國，由於同樣原因仍未採用，這時中國也有了「0」。19世紀末，現代教育傳入中國，阿拉伯數碼才作為現代教育體系的一部分得到了推廣。